ok c'est pa si difficil mias bon,voici la réponse.
montrons tt d'abord que fest injective.
sup: f(a)=f(b)
alors f(a²+f(b))=b+f(a)²=f(a²+f(b))=b+f(a)²==>a=b.
soit f(t)=0
alors x=y=t ==>f(t+f(t))=t+f(t)²==>f(t)=t=0 vu la injectivité c'est la seul valeur ainsi f(0)=0
soit y=0 ==> f(x²)=f(x)².
soit x=0==>f(f(y))=y ce qui montre que f est surjective.
alors mnt essayons de faire apparaitre CAUCHY,pour x>0
f(x+y)=f(x+f(f(y))=f(y)+f(Vx)²=f(y)+f(x) (car f(x²)=f(x)²)
ce qui montre que f(x)+f(y)=f(x+y).
vu que f(x+t)=f(t)+f(Vx)²==>f est croissante sur IR ce qui assure le passage d Q à IR donc:
f(x)=axréciproquement ==>ax²+a²y=y+a²x²==>a=1
CQFD
Lun 26 Nov - 12:35
